Georg Friedrich Bernhard Riemann ([ˈriːmɑːn]; de; 17 de setembro de 1826 – 20 de julho de 1866) foi um matemático alemão que fez profundas contribuições à análise, à teoria dos números e à geometria diferencial. No campo da análise real, é mais conhecido pela primeira formulação rigorosa da integral, a integral de Riemann, e por seu trabalho sobre séries de Fourier. Suas contribuições à análise complexa incluem, notavelmente, a introdução das superfícies de Riemann, abrindo novos caminhos em um tratamento natural e geométrico da análise complexa. Seu artigo de 1859 sobre a função de contagem de primos, contendo a declaração original da hipótese de Riemann, é considerado um artigo fundacional da teoria analítica dos números. Por meio de suas pioneiras contribuições à geometria diferencial, Riemann lançou as bases da matemática da relatividade geral. Ele é considerado por muitos um dos maiores matemáticos de todos os tempos.
Riemann nasceu em 17 de setembro de 1826 em Breselenz, uma vila perto de Dannenberg, no Reino de Hanôver. Seu pai, Friedrich Bernhard Riemann, era um pastor luterano pobre em Breselenz que lutou nas Guerras Napoleônicas. Sua mãe, Charlotte Ebell, morreu em 1846. Riemann era o segundo de seis filhos. Riemann demonstrou talento matemático excepcional, como habilidades de cálculo, desde tenra idade, mas sofria de timidez e medo de falar em público, e tinha saúde frágil.
Durante 1840, Riemann foi para Hanôver morar com sua avó e frequentar o liceu (anos de escola secundária), porque esse tipo de escola não era acessível de sua vila natal. Após a morte de sua avó em 1842, ele se transferiu para o Johanneum Lüneburg, uma escola secundária em Lüneburg. Lá, Riemann estudou a Bíblia intensamente, mas era frequentemente distraído pela matemática. Seus professores ficavam maravilhados com sua capacidade de realizar operações matemáticas complicadas, nas quais ele frequentemente superava o conhecimento de seu instrutor. Em 1846, aos 19 anos, começou a estudar filologia e teologia cristã para se tornar pastor e ajudar nas finanças de sua família.
Durante a primavera de 1846, seu pai, depois de juntar dinheiro suficiente, enviou Riemann para a Universidade de Göttingen, onde planejava estudar para obter um diploma em teologia. No entanto, uma vez lá, ele começou a estudar matemática com Carl Friedrich Gauss (especificamente suas aulas sobre o método dos mínimos quadrados). Gauss recomendou que Riemann abandonasse seu trabalho teológico e entrasse no campo da matemática; após obter a aprovação de seu pai, Riemann se transferiu para a Universidade de Berlim em 1847. Durante seu período de estudo, Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner e Gotthold Eisenstein lecionavam. Ele permaneceu em Berlim por dois anos e retornou a Göttingen em 1849.
Riemann deu suas primeiras aulas em 1854, que fundaram o campo da geometria riemanniana e, assim, prepararam o terreno para a teoria da relatividade geral de Albert Einstein. Em 1857, houve uma tentativa de promover Riemann a professor extraordinário na Universidade de Göttingen. Embora essa tentativa tenha falhado, ela resultou finalmente na concessão a Riemann de um salário regular. Em 1859, após a morte de Dirichlet (que ocupava a cátedra de Gauss na Universidade de Göttingen), ele foi promovido a chefe do departamento de matemática da Universidade de Göttingen. Ele também foi o primeiro a sugerir o uso de dimensões superiores a apenas três ou quatro para descrever a realidade física.
Família protestante e morte na Itália
Em 1862, casou-se com Elise Koch; tiveram uma filha. Riemann fugiu de Göttingen quando os exércitos de Hanôver e Prússia entraram em confronto ali em 1866. Ele morreu de tuberculose durante sua terceira viagem à Itália, em Selasca (hoje um povoado de Verbania, no Lago Maggiore), onde foi enterrado no cemitério de Biganzolo (Verbania).
Riemann era um cristão dedicado, filho de um ministro protestante, e via sua vida como matemático como outra maneira de servir a Deus. Durante sua vida, manteve-se fiel à sua fé cristã e considerava-a o aspecto mais importante de sua vida. No momento de sua morte, ele recitava o Pai-Nosso com sua esposa e morreu antes que terminassem de dizer a oração. Enquanto isso, em Göttingen, sua governanta descartou alguns dos papéis de seu escritório, incluindo muito trabalho não publicado. Riemann se recusava a publicar trabalhos incompletos, e algumas ideias profundas podem ter sido perdidas.
As obras publicadas de Riemann abriram áreas de pesquisa que combinavam análise com geometria. Estas subsequentemente se tornariam partes importantes das teorias da geometria riemanniana, da geometria algébrica e da teoria das variedades complexas. A teoria das superfícies de Riemann foi elaborada por Felix Klein e, particularmente, por Adolf Hurwitz. Essa área da matemática faz parte da fundação da topologia e ainda é aplicada de maneiras novas à física matemática.
Em 1853, Gauss pediu a Riemann, seu aluno, que preparasse uma Habilitationsschrift sobre os fundamentos da geometria. Ao longo de muitos meses, Riemann desenvolveu sua teoria de dimensões superiores e proferiu sua palestra em Göttingen em 10 de junho de 1854, intitulada Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Ela não foi publicada até doze anos depois, em 1868, por Dedekind, dois anos após sua morte. Sua recepção inicial parece ter sido lenta, mas agora é reconhecida como uma das obras mais importantes da geometria.
O assunto fundado por essa obra é a geometria riemanniana. Riemann encontrou a maneira correta de estender para n dimensões a geometria diferencial de superfícies, que o próprio Gauss provou em seu theorema egregium. Os objetos fundamentais são chamados de métrica riemanniana e tensor de curvatura de Riemann. Para o caso de superfície (bidimensional), a curvatura em cada ponto pode ser reduzida a um número (escalar), com as superfícies de curvatura positiva ou negativa constante sendo modelos das geometrias não euclidianas.
A métrica de Riemann é uma coleção de números em cada ponto do espaço (isto é, um tensor) que permite medir a velocidade em qualquer trajetória, cuja integral dá a distância entre os pontos extremos da trajetória. Por exemplo, Riemann descobriu que, em quatro dimensões espaciais, são necessários dez números em cada ponto para descrever distâncias e curvaturas em uma variedade, não importa quão distorcida ela seja.
Em sua dissertação, ele estabeleceu uma fundação geométrica para a análise complexa por meio das superfícies de Riemann, através das quais funções multivaloradas como o logaritmo (com infinitas folhas) ou a raiz quadrada (com duas folhas) poderiam se tornar funções injetoras. Funções complexas são funções harmônicas (isto é, satisfazem a equação de Laplace e, portanto, as equações de Cauchy-Riemann) nessas superfícies e são descritas pela localização de suas singularidades e pela topologia das superfícies. O "gênero" topológico das superfícies de Riemann é dado por
Suas contribuições a essa área são numerosas. O famoso teorema da aplicação de Riemann diz que um domínio simplesmente conexo no plano complexo é "biholomorficamente equivalente" (isto é, há uma bijeção entre eles que é holomorfa com uma inversa holomorfa) a
ou ao interior do círculo unitário. A generalização do teorema para superfícies de Riemann é o famoso teorema da uniformização, que foi provado no século XIX por Henri Poincaré e Felix Klein. Aqui, também, provas rigorosas foram dadas pela primeira vez após o desenvolvimento de ferramentas matemáticas mais ricas (neste caso, a topologia). Para a prova da existência de funções em superfícies de Riemann, ele usou uma condição de minimalidade, que chamou de princípio de Dirichlet. Karl Weierstrass encontrou uma lacuna na prova: Riemann não havia notado que sua suposição de trabalho (de que o mínimo existia) poderia não funcionar; o espaço de funções poderia não ser completo e, portanto, a existência de um mínimo não era garantida. Por meio do trabalho de David Hilbert no Cálculo das Variações, o princípio de Dirichlet foi finalmente estabelecido. Fora isso, Weierstrass ficou muito impressionado com Riemann, especialmente com sua teoria das funções abelianas. Quando o trabalho de Riemann apareceu, Weierstrass retirou seu artigo do Crelle's Journal e não o publicou. Eles tiveram um bom entendimento quando Riemann o visitou em Berlim em 1859. Weierstrass encorajou seu aluno Hermann Amandus Schwarz a encontrar alternativas ao princípio de Dirichlet na análise complexa, no que foi bem-sucedido. Uma anedota de Arnold Sommerfeld mostra as dificuldades que os matemáticos contemporâneos tinham com as novas ideias de Riemann. Em 1870, Weierstrass levou a dissertação de Riemann consigo em umas férias para Rigi e reclamou que era difícil de entender. O físico Hermann von Helmholtz o ajudou no trabalho durante a noite e voltou com o comentário de que era "natural" e "muito compreensível".