David Hilbert (pronúncia inglesa: /ˈhɪlbərt/; pronúncia alemã: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23 de janeiro de 1862 – 14 de fevereiro de 1943) foi um matemático alemão e filósofo da matemática, considerado um dos matemáticos mais influentes de todos os tempos.
Hilbert descobriu e desenvolveu ideias na teoria dos invariantes, no cálculo variacional, na álgebra comutativa, na teoria algébrica dos números, nos fundamentos da geometria, na teoria espectral de operadores e sua aplicação às equações integrais, na física matemática e nos fundamentos da matemática, em especial na teoria da prova. Adotou e defendeu a teoria dos conjuntos e os números transfinitos de Georg Cantor. Em 1900, apresentou uma lista de problemas que orientou a pesquisa matemática do século XX.
Hilbert e seus alunos ajudaram a estabelecer o rigor matemático e criaram ferramentas usadas na física matemática moderna. Ele foi um dos fundadores da teoria da prova e da lógica matemática.
Hilbert era o primeiro dos dois filhos e o único filho homem de Otto Hilbert, juiz distrital, e Maria Therese Hilbert, nascida Erdtmann, filha de um comerciante. Nasceu na província da Prússia, no Reino da Prússia, em Königsberg, hoje Kaliningrado, como ele próprio afirmava, ou em Wehlau, cidade próxima a Königsberg chamada Znamensk desde 1946, onde seu pai trabalhava na época. Seu avô paterno, também chamado David Hilbert, era juiz e Geheimrat. Maria interessava-se por filosofia, astronomia e números primos, enquanto Otto ensinou ao filho as chamadas virtudes prussianas. A família mudou-se para Königsberg depois que Otto se tornou juiz municipal. Elise, irmã de David, nasceu quando ele tinha seis anos. Hilbert começou a frequentar a escola aos oito anos, dois anos depois da idade habitual.
No fim de 1872, entrou no Friedrichskolleg, o mesmo ginásio que Immanuel Kant frequentara 140 anos antes. Insatisfeito, transferiu-se no fim de 1879 para o Wilhelmsgymnasium, mais voltado para as ciências, onde se formou no começo de 1880. Seu professor de matemática destacou no certificado de conclusão dos estudos o conhecimento da disciplina e a capacidade de Hilbert de resolver problemas por conta própria.
No outono daquele ano, matriculou-se na Universidade de Conisberga, conhecida como Albertina. Heinrich Weber foi um de seus professores. Depois do primeiro semestre, Hilbert estudou durante um semestre na Universidade de Heidelberg e então voltou a Königsberg. Hermann Minkowski, dois anos mais novo e também nascido em Königsberg, voltou à cidade no início de 1882 depois de passar três semestres em Berlim e ingressou na universidade. Hilbert fez amizade com o tímido e talentoso Minkowski, e os dois permaneceram próximos pelo resto da vida.
Em 1884, Adolf Hurwitz chegou de Göttingen como Extraordinarius, cargo equivalente ao de professor associado. Começou então uma intensa troca de ideias entre ele, Minkowski e Hilbert. Minkowski e Hilbert, em particular, influenciaram-se mutuamente em diferentes momentos da carreira. Hilbert obteve o doutorado em 1885 sob orientação de Ferdinand von Lindemann com a tese Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen, sobre propriedades invariantes de formas binárias especiais e harmônicos esféricos.
Após o doutorado, viajou à Universidade de Leipzig no inverno de 1885–1886 para conhecer Felix Klein. Por sugestão dele, passou alguns meses em Paris na primavera de 1886, onde teve contato com matemáticos franceses, entre eles Henri Poincaré e Charles Hermite. De volta a Königsberg, habilitou-se para a docência universitária em 1886 com um trabalho sobre a teoria dos invariantes.
Hilbert lecionou na Universidade de Königsberg como Privatdozent até 1892, quando sucedeu Hurwitz como professor extraordinário. Em 1894, passou a ocupar uma cátedra como professor ordinário. No ano seguinte, graças à intervenção de Klein, tornou-se professor de matemática da Universidade de Göttingen. Durante os anos de Klein e Hilbert, Göttingen passou a ocupar uma posição de destaque mundial na matemática. Hilbert trabalhou ali até o fim da vida.
Em 1900, Hilbert presidiu a Associação dos Matemáticos da Alemanha. Em 1902, recusou uma oferta de cátedra em Berlim e obteve a nomeação de seu amigo Minkowski para Göttingen. A morte prematura de Minkowski, em 1909, foi um duro golpe pessoal; Hilbert escreveu uma homenagem ao amigo e organizou a publicação de seus trabalhos reunidos.
Hermann Weyl doutorou-se sob orientação de Hilbert. Edward Kasner, já doutor por Columbia, frequentou seus cursos em Göttingen em 1899–1900; Carl Gustav Hempel também estudou matemática com ele. Ernst Zermelo, doutorado em Berlim antes de ir a Göttingen, passou a integrar o grupo de Hilbert. John von Neumann estudou com Hilbert durante uma estada de pós-doutorado em 1926–1927. Em Göttingen, Hilbert também conviveu com Emmy Noether e Alonzo Church.
Em 1915, Hilbert e Felix Klein convidaram Noether a trabalhar em Göttingen. Ambos apoiaram sua habilitação para lecionar, impedida na época pelas restrições impostas às mulheres. Enquanto o pedido não era aceito, as aulas de Noether eram anunciadas sob o nome de Hilbert; ela obteve a habilitação em 1919.
Entre os 69 doutorandos que orientou em Göttingen estavam Otto Blumenthal (tese em 1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) e Wilhelm Ackermann (1925). Seis das pessoas que orientou até o doutorado eram mulheres, num período em que seu acesso à universidade ainda enfrentava restrições na Prússia. Hilbert foi um dos editores da revista Mathematische Annalen de 1902 a 1939. Em 1907, foi eleito membro internacional da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos.
Blumenthal recordou que Hilbert dava aulas sem ornamentos retóricos, mas com clareza e conteúdo original. Depois dos seminários, convidava os participantes a conversar sobre matemática fora da universidade e caminhava com eles pelas colinas próximas a Göttingen.
Seu nome consta entre os signatários da Erklärung der Hochschullehrer des Deutschen Reiches, de 23 de outubro de 1914, declaração de professores universitários alemães que apoiava o esforço militar do país na Primeira Guerra Mundial.
Em 1928, apresentou a conferência plenária Probleme der Grundlegung der Mathematik, sobre os problemas dos fundamentos da matemática, no Congresso Internacional de Matemáticos realizado em Bolonha.
Em 12 de outubro de 1892, Hilbert casou-se com Käthe Jerosch (1864–1945), filha de um comerciante de Königsberg e, nas palavras de Constance Reid, uma jovem franca cuja independência de pensamento combinava com a de Hilbert. Käthe passava a limpo a correspondência e os manuscritos do marido para envio às editoras. O casal teve um único filho em Königsberg, Franz Hilbert (1893–1969). Franz conviveu com uma doença mental por toda a vida. Depois de sua internação numa clínica psiquiátrica, Hilbert disse: "De agora em diante, devo considerar que não tenho filho". Sua atitude entristecia muito Käthe.
Hilbert chamava Hermann Minkowski de seu "melhor e mais verdadeiro amigo".